Dopo gli studi universitari in lettere con indirizzo antropologico si avvicina al teatro a partire dalla fine degli anni novanta collaborando, in veste di attore, ad alcuni spettacoli, tra cui Giullarata dantesca (1996-1998), rilettura dell'Inferno di Dante alla maniera dei comici dell'Arte.
Dopo gli anni dell'apprendistato, Celestini scrive ed interpreta il suo primo spettacolo, Cicoria. In fondo al mondo, Pasolini (1998, recentemente edito da Titivillus). Lo spettacolo racconta di un padre ed un figlio che compiono un viaggio da Foggia a Roma, parlando e mangiando prodotti poveri come il pane e le cipolle, sullo sfondo di un mondo di delicata ma vitalistica poesia memore della lezione pasoliniana: un viaggio che si connota come iniziazione alla morte, attraverso i racconti che il padre rivolge al figlio. Una pièce in cui già si notano tutte le tendenze del futuro lavoro dell'attore romano, anche se in questo primo lavoro si vede un Celestini che - prima ancora di farsi affabulatore solista - interpretava un personaggio drammatico all'interno di una partitura drammatica a più attori.
Con Cicoria prende avvio la sua produzione matura, snodatasi attraverso una prima fase artistica concretizzatasi, tra il 1998 ed il 2000, nella composizione della trilogia Milleuno, sulla narrazione di tradizione orale: ne fanno parte Baccalà (il racconto dell'acqua), Vita Morte e Miracoli, La fine del Mondo. In Milleuno Celestini rievoca un mondo pasoliniano dove la sofferenza del vivere viene riscattata da una sottile ironia, ricreando la memoria orale degli ultimi, di chi vive ai margini di una grande città come Roma a metà del secolo scorso: una città che si sta trasformando sotto la cementificazione delle speculazioni edilizie e che, sempre più, assorbe e divora la campagna con i suoi riti e le sue credenze popolari.
Negli anni successivi riceverà svariati riconoscimenti istituzionali.
La svolta della carriera artistica è segnata dalla scrittura ed interpretazione di Radio clandestina (2000), sull'eccidio delle Fosse Ardeatine, cui seguono Cecafumo (2002), montaggio di fiabe della tradizione popolare italiana riviste, destrutturate e rimontate, tradotte e "tradite", per un pubblico di ragazzi e adolescenti; Fabbrica (2002), narrazione in forma di lettera sulla vita operaia, attraverso tre generazioni di lavoratori, dalla fine del XIX secolo alla dismissione industriale degli anni '80-'90; Scemo di guerra. 4 giugno 1944 (2004) sulle vicende personali del padre dell'attore, sullo sfondo drammatico della liberazione di Roma da parte degli americani verso la fine della II guerra mondiale; La pecora nera. Elogio funebre del manicomio elettrico (2005), sull'istituzione del manicomio e sulle manie dell'odierna società dei consumi. Tra maggio e giugno 2006 ha presentato al Piccolo Teatro di Milano Live. Appunti per un film sulla lotta di classe, accompagnato dai musicisti Gianluca Casadei (fisarmonica), Roberto Boarini (violoncello) e Matteo D'Agostino (chitarra) che sono anche gli autori delle musiche. Si tratta di uno spettacolo-lavoro in corso che cambia cercando di seguire il variare delle condizioni del lavoro precario in Italia. La nuova versione col titolo Appunti per un film sulla lotta di classe ha debuttato a Bruxelles alla fine di settembre 2007 .
È considerato uno dei rappresentanti della seconda generazione del cosiddetto teatro di narrazione: i suoi spettacoli sono fatti di storie raccontate e sono preceduti da un lavoro di raccolta di materiale lungo e approfondito. L'attore-autore fa quindi da filtro, con il suo racconto, fra gli spettatori e i protagonisti dello spettacolo. L'attore in scena rappresenta sé stesso, anche quando parla in prima persona: è qualcuno che racconta una storia.
Gli spettacoli di Celestini sono caratterizzati da una economia di mezzi attoriali e scenografici: i movimenti dell'attore sulla scena sono ridotti al minimo e la comunicazione si svolge attraverso le capacità di affabulazione. Il ritmo vocale è rapido e quasi senza pause, la scenografia elementare.
Nell'opera di Celestini la Storia con